sources : Veritasium
この動画は、世の中の様々な物理学的な事象に対して、歴史上の有名な数学者たちが法則を見つけ出そうとした過程を、大変に分かり易く、興味深く解説している動画ですが、オートバイの物理的な運動解析にも深く関係する筈だと考えたので紹介します。
そして、こういうの解説を見ると、試験問題を解く為に定理や法則の詰め込みだけに終始した高校時代までの勉強を残念に思います。
This is a very interesting and easy-to-understand video that explains how famous mathematicians in history tried to find laws for various physical phenomena in the world, and I share it with you because I think it should be deeply related to the physical analysis of motorcycle motion. However, when I watch this kind of video, I regret that I studied only cramming theorems and laws to solve exam questions until my high school days.
sources : Veritasium
https://www.facebook.com/share/r/1K5oagK5fE/
さて、本題ですが、この動画では、高さの違う 2点間を重力の力だけで移動する場合、どんな経路が最速で到達するのか？ という「最速降下問題」に対して、歴史上の偉大な数学者たちが様々な解析を行なってきた事を話題にしています。
上記の図の様に、A から B の地点へとボールを重力だけを利用して落下させる場合、最も早く B に到達するのは直線の経路になると考えてしまいますし、実際、この動画を観るまでは、僕も「直線」だと思い込んでいた事に気付かされました。
しかし、1638年、ガリレオ・ガリレイは 直線よりも「円弧曲線」が早い事を証明した話題で始まり、次いで、1696年、ジョハン・ベルヌイは「サイクロイド曲線」だと主張した事を紹介しています。
【 サイクロイド曲線 / Cycloid curve 】
更に、光が異なる物質を通過する際、例えば空気中から水中へと進んだ時など、一定の率で屈折する事は広く知られていますが、実は、この屈折の経路は「最速経路」を選んだ結果である事が解説されており、その事も目からうろこの解説でした。
【 屈折経路は最速経路 / Refracted path is the fastest path 】
そして、この「屈折」の現象を A から B の地点までの間で無数に繰り返す解析を行なう事で、「サイクロイド曲線」が最速降下問題の解となる曲線である事が証明されています。更に、この時のサイクロイド曲線は「等時曲線」とも呼ばれていて、その曲線状のどの地点から落下を始めても、B に至るまでの落下時間は同じになるという興味深い “解” が紹介されています。面白いですね。
【 等時曲線 / Tautochrone curve 】
＜sources : Wikipedia＞
And, to the main question, in this video, what is the fastest path between two points at different heights that can be reached by the force of gravity alone? In 1638, Galileo Galilei claimed it was an arc curve, and in 1696, Johann Bernoulli claimed it was a cycloid curve. In general, if you ask many people the same question, they will claim it is a straight path, but this video made me realize that I myself had assumed it was a straight path.
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
さて、この話題を採り上げたのは、僕自身が長年タイムトライアル競技に親しんでいる事が大きく影響していたからです。と言うのは、この “サイクロイド” 曲線（等時曲線）は、オートバイが旋回時に減速と加速で描く自然で最適な曲線（僕は クロソイド的曲線としています）との近似性を強く感じているからです。きっと、数学的な考察の過程で、クロソイド的曲線の実証に繋がると感じています。だから、考察を深めて、改めて考察結果とクロソイド的曲線の解説記事を書いてみたい気持ちで一杯です。
This is probably due to my own longtime familiarity with time trial competitions, but I feel that the “fastest descent problem” and the “cycloid” curve (isochronous curve) approximate the natural and optimal curve that a motorcycle draws when decelerating and accelerating in a turn (which I refer to as the “crossoidal” curve). curve), which I feel is an approximation to the “fastest descent problem” and the “cycloid” curve (isochronous curve). I feel that the process of mathematical consideration will surely lead to a demonstration of the clothoidal curve. I would like to deepen my consideration and write another article explaining the results of my consideration and the clothoidal curve.
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
［ 動画中の解説の 直訳日本語 ］
これは、物理学のすべてを支える 1 つのシンプルなルールについてのビデオです。古典力学から電磁気学、量子論から一般相対性理論、物質の究極の構成要素である基本粒子に至るまで、すべての原理がこの 1 つのルールに置き換えられます。すべては、シンプルな問題から始まります。マスを A 地点から B 地点まで滑らせたい場合、どの形状の傾斜路が最も速く到着できるでしょうか。これは、最速降下問題として知られています。
「常識的に、最短経路を取ると言うかもしれません。」 A から B への直線。「しかし、最初に傾斜を少し曲げると、質量はより早く加速してより速く移動し、直線の傾斜よりも速くなります。そこで、最小化のために加速と経路長の完璧なバランスを提供する形状は何かという疑問が生じます。グリレオによると、それは円弧でした。彼はこれがどの多角形よりも速いことを示しました。しかし、これが最速なのでしょうか? それからほぼ 60 年後の 1696 年 6 月、ヨハン ベルヌーイはこの問題を世界最高の数学者への挑戦と見なしました。
「ヨハン ベルヌーイがなぜみんなに挑戦したかったのかは理解できました。彼は本当に巧妙で美しい解決策を思いついたからです。」
そのために、彼は古代の哲学者が直面した問題からインスピレーションを得ました。
光はどのようにしてある場所から別の場所へ移動するのでしょうか? これは、西暦 1 世紀にアレクサンドリアのヘロンによって考え出されました。彼は、空気のような単一の媒体では、光は常にその方向をたどることに気づきました。最短経路。その結果、たとえば湖で光が反射する場合、入射角は常に反射角と等しくなります。開始点と終了点の間の他の経路は、より長くなります。
「しかし、空気から水に入るように、光が 1 つの媒体から別の媒体に入る場合、光は奇妙な方法で曲がります。屈折し、最短/経路をたどりません。「では、ここでの指針となる原則は何でしょうか?
そうですね、その後 1,600 年の間に、人々はゆっくりと、入射角の正弦を の正弦で割った値が定数 n に等しいことを解明しました。この定数は 2 つの媒体の性質に依存します。これはスネルの法則として知られるようになりました。しかし、なぜそれが機能するのかは誰も知りませんでした。1657 年までです。
「ここで、もう一人の偉大な数学者が私たちの物語に登場します。ピエール フェルマーです。彼は、アレクサンドリアのヘロンは正しい方向に進んでいるかもしれないと考えましたが、最小化されているのは距離ではなく時間です。しかし、これが屈折に当てはまるかどうかを確認するのは難しいでしょう。彼は、光が境界と交差する点を結んで光がとる可能性のあるすべての経路を計算し、それぞれの時間を計算し、光が総移動時間が最短となる経路をとることを示さなければなりませんでした。そして彼は、1 つの光速で 1 つの媒体から別の光速で別の媒体に移動するこれらの条件下で、スネルの法則が実際に光の最小経路として現れることを示し、「そしてその定数 < n は、最初の媒体の光速を 2 番目の媒体の光速で割った値にちょうど等しく、スネルの法則を次のように書き直すことができます。さて、ベルヌーイはフェルマーの最小時間原理を知っていたので、それを使って最速降下問題を解くことができると考えました。 - 彼は、シュートから滑り落ちる粒子に関する力学の問題を光学の問題に変換しました。 - 重力によって加速される質量の代わりに、彼は、密度がだんだん薄くなる媒体の層に入るにつれてどんどん速くなる光線を想像しました。そして、各界面でスネルの法則が守られるように層をどんどん薄くしていけば、最終的には連続した曲線が得られます。ここで問題となるのは、落下する物体を正確にモデル化するには、光速を層ごとにどのように変化させるべきかということです。-- 粒子が A から B に落下する場合、運動エネルギーを吸収し、シュートを滑り落ちるにつれてどんどん速くなり、位置エネルギーの損失をこの運動エネルギーに変換すると考えることで、この問題を解決できます。この関係のエネルギー保存則を書き出すと、粒子が任意の時点で到達する速度、たとえば y の距離を落下した後の速度の 2 乗は、y (上からの高さ) に比例することがわかります。したがって、速度は y の平方根のようになります。これは、光が一定の速度ではなく、上からの角度に比例して移動する様子を想像してください、と言っているようなものです。 - では、ズームインして単一のインターフェイスを見てみましょう。各層の光速の式をスネルの法則に代入します。すると、最初の層の最初の角度の正弦を y の平方根で割った値が、2 番目の層の最初の角度の正弦を y の平方根で割った値に等しいことがわかります。これが重要な洞察です。スネルの法則は次の層にも当てはまり、そこでは入射角は単に theta 2 です。つまり、これは 3 番目の角度の正弦を y3 の平方根で割った値にも等しくなります。次の層、その次の層、というように同じことが当てはまります。言い換えると、この比率は、k と呼ばれる定数に等しくなければなりません。この方程式は、ベルヌーイがすぐにサイクロイドの方程式であると認識したという話です。それは、転がる車輪の縁に取り付けられた点によって描かれた経路です。これは、ギリシャ語で最短時間を意味することから、最速降下曲線としても知られています。 -したがって、驚くべき結論は、A地点からB地点に到達する最速の方法は、サイクロイドの弧をたどることです。 -さて、この曲線には別の驚くべき特性もあります。どこから質量を放出しても、常に同時に終端に到達します。このため、ギリシャ語で同じ時間を意味することから、トートクローン曲線としても知られています。 ベルヌーイは、自分がもっと大きなことに取り組んでいるとは知りませんでした。約40年後、彼の学生の一人、ピエール・ルイ・ド・モーペルテュイも光と粒子の振る舞いを研究し、2つが非常によく似た振る舞いをする場合があることに気づきました。
（ 以上 動画前半部のみ翻訳 ）
